函数y=ln(1+x^2)的性质及其图像

主要内容：

本文介绍函数y=ln(1+x^2)的定义域、值域、单调性、凸凹性和奇偶性质，并通过函数的导数求解函数的单调区间和凸凹区间，同时简要画出函数的示意图。

函数定义域：

∵1+x^2≥1＞0，

∴函数y=ln(1+x^2)的定义域为全体实数，

即定义域为：(-∞，+∞)。

函数的单调性：

∵y=ln(1+x^2)，

∴y'=2x/(1+x^2),则：

(1)当x＞0时,y'＞0,此时函数为单调增函数，该函数的单调增区间为：(0,+∞);

(2)当x≤0时,y'≤0,此时函数为单调减函数，该函数的单调减区间为：(-∞,0]。

函数的凸凹性：

∵y'=2x/(1+x^2),

∴y''=[2(1+x^2)-2x*2x]/(1+x^2)^2,

=2(1-x^2)/(1+x^2)^2,

=-2(x^2-1)/(1+x^2)^2,

令y''=0，则：x^2-1=0，则x^2=1,

即：x=±1.00.此时有：

(1)当x∈[-1.00,1.00]时，y''＞0，

此时函数为凹函数，该区间为函数的凹区间；

(2)当x∈(-∞，-1.00),(1.00，+∞)时，y''＜0，

此时函数为凸函数，该区间为函数的凸区间.

函数的奇偶性：

∵f(x)=ln(1+x^2),

∴f(-x)=ln[1+(-x)^2],

=ln(1+x^2)=f(x);

所以函数f(x)为偶函数。